OpenAIのAI、50年来の数学予想を証明

この記事が発表された週の金曜日に、OpenAIはgpt-5.6 Solモデルによって完全に生成されたCycle Double Cover予想の証明をリリースした。この予想は50年以上未解決のままであった。証明を検査した専門家は重大な誤りを特定していないが、査読と正式な確認をまだ受けていない。この成果は、OpenAIの前のモデルが5月に別の有名な数学予想でブレークスルーを達成してからわずか2ヶ月以内に到来する。

著者は2024～25年を通じて数学問題を解くためにAIモデルを訓練した数学者であり、改善速度についての第一人者としての視点を提供する。訓練プロセスには、特定のサブドメインで数学問題を作成し、それらをテストモデルに提示する（ステップバイステップの推論を「思考連鎖」または「CoT」と呼ばれるもの、および最終的な答えを出力する）、モデルの推論が誤っている場合を特定し、その推論を訂正し、訂正された結果をモデルを訓練しているラボにフィードバックすることが含まれた。2024年半ばまで、これらの最先端（ただしまだ完全には訓練されていない）テストモデルを高校レベルの問題に対して誤った答えを生成するようにトリックするのは簡単であった。2025年初頭までに、著者が考え出すことができた最も創造的な大学院レベルの問題を提示するとき、モデルは80%の確率で正しく答え、重要なことに、正しい推論で答えるようになっていた。これは、LLMが2桁の数字の乗算を確実に行うことができなかった2023年から劇的な出発を表す。

この記事は、数学研究を自動化することの重要性が、専門的なクラスを置き換えることをはるかに超えていると主張している。過去の数学的ブレークスルーはしばしば発見当時は抽象的または実用的ではないと思われてきたが、数十年後には基礎となる技術を可能にした。安全な銀行取引とオンラインショッピング、インターネット、GPS、LLM自体は、数年または数十年前に行われた数学研究に依存していた。数学者は、何かが直感的に真実であることに気づき、それを証明したいという理由で問題に取り組むことが多い。これはHenri Poincaréが「数学者の自由な主導権」と呼んだものである。著者はGoldbach予想（1742年に提出）でこれを説明している。任意の偶数は2つの素数（または1）の和で表すことができる（または1）。18桁の数字まで成り立つことが知られており、直感的に真実に思えるが、すべての偶数に対して未解決のままである。しかし、現代工学の多くは、そのような予想を証明または反証する数学研究プロセスの存在に負っている。

フィールズ賞受賞者Terence Tao（ノーベル賞に相当する数学界の賞）は、ポッドキャスターのDwarkesh Patelとのインタビューで、澄んだ類推を提示した。彼は未解決の数学問題を、暗闇の中で包まれた山脈に例え、様々な高さの壁がある。3フィート高い壁、6フィート高い壁、15フィート高い壁、そして1マイル高い壁。数学者たちはこれらの壁を特定して登り、作業中にロウソクを灯してマップを作成する。Taoは、AIツールは2メートル高く飛び上がることができる跳躍マシンのようだと述べた。時には間違った方向に飛び上がったり墜落したりするが、時には人間が到達できなかった最低の壁の頂上に到達する。このメタファーでは、数学者とAIは補完的である。人間はAIがまだ解くことができない遠く、到達困難な問題に取り組む一方、AIはより アクセスしやすい未解決問題の長い尾に対応し、単に十分な人間の数学者の注意を受けていないだけだ。Taoはインタビューの後半で、2026年までにAIは「正しく使えば信頼できる共著者」になるだろうと述べた。

OpenAIが証明したばかりのCycle Double Cover予想は、AIがブレークスルーを達成した以前の予想よりも、より多く研究されている。例えば、5月のブレークスルーはPaul Erdősによって提示された予想のわずか1つの部分を証明することのみを含んでいた。そしてErdős自身は1000を超える予想を提示していた。これは、AI の数学的能力のフロンティアが徐々に拡大していることを示唆している。新しい技術はこの拡大をさらに加速させるように配置されている。Lean は数学的証明を形式化するために設計されたプログラミング言語であり、AI研究者の間での採用が増加しており、モデルが自分の仕事をより効率的にチェックすることを可能にする。並行して、数十億ドルが「世界モデル」（物理的現実で推論することができるシステム）の研究に注ぎ込まれており、幾何学的直感を強化する可能性がある。これは高階数学にとって重要な能力である。

しかし、この記事は曖昧さの注記で終わる。数学的進歩を加速させる見通しは本当にエキサイティングであるが、数学者は問題を解く「ユーリカ」の瞬間からの深い満足を得る。そしてその経験を失うことの考えは痛みを伴う。救いの手は、AIが苦手とするもの、つまり本当の創造性にあるかもしれない。純粋数学は、著者が示唆するように、法律、医学、またはコンピュータサイエンスのような実用的な分野よりも芸術に近い。プロフェッショナルドメインで3～4年の急速なAI進歩にもかかわらず、モデルはアーティストを置き換えていないか、人々が本当に楽しんで読む散文の生成に近づいていない。Fermat の最後の定理の証明は、数学における創造性の役割を例示している。Pierre de Fermatは12歳の子供でも理解できるほど単純な予想を提示したが、その証明は人類を避けたままであり、1995年にAndrew Wilesが最終版を発表するまで400年近くかかった。その証明には、Yutaka Taniyama、Goro Shimura、Frey、Serre、Ribetによる創造的なリープが必要であり、それぞれが一見関連のない数学的オブジェクト間の予期しない接続を作成した。今日に至るまで、Fermatの死の前に彼のメモに「本当に素晴らしい」とスクリブルされた自分自身の主張された証明が実際のものだったかどうかは分かっていない。これは潜在的に彼を歴史上最大のトロールにする。

この記事は、AI の数学的進歩を重要な歴史的文脈の中に位置づけている。数学的ブレークスルーはしばしば発見当時は抽象的または無用に見えるが、数十年後に社会が依存する工学的イノベーションを可能にする。安全な銀行取引、インターネット、GPS、LLM自体は、すべて以前に行われた数学研究なしに存在しなかったであろう。このフレーミングはステークスを高める。数学研究を自動化することは、単なる専門職スキルセットの置き換えではなく、技術および科学全体の軌跡を加速させる可能性がある。

著者の2024～25年のAIモデル訓練の第一人者による経験は、改善速度の具体的な尺度を提供する。2024年半ばに高校レベルの問題で騙されたモデルが、2025年初頭に正しい推論で大学院レベルの問題を80%の確率で解くようになった飛躍は印象的である。しかし、この記事はTerence Taoのより微妙なフレーミングを引用して過度な誇大広告を避けている。AIは「跳躍マシン」であり、より小さな「壁」に長けているが、オープン問題という山脈の中では、依然として1マイルの高さの崖からは遠く離れているのだ。人間とAI数学者の補完的な性質、すなわち人間が最難関問題に取り組む一方、AIはより アクセスしやすい未解決問題の長い尾に対応する、という現実的な短期的な展望が浮かび上がってくる。

この記事は、形式的証明言語（Lean）や幾何学的推論のための「世界モデル」における新興研究が、最終的にAIの到達範囲をさらに拡大させる可能性があることを認めている。しかし、数学者のための救いの手は、AIが「著しく苦手とする：創造性」の中にあるかもしれないと結論づけている。純粋数学は法律や医学のような応用分野よりもアートに近く、AIは法律や医学ではより大きな進展を遂げている。

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